در تصویر كوهن از شیوة تحول یك علم، پارادایم مشتمل است بر مفروضات كلی تئوریك، قوانین، فنون، كاربردها و ابزارآلات كه اعضای جامعة علمی خاصی را بر میگیرند. پژوهشگران درون یك پارادایم، خواه مكانیك نیوتنی باشد؛ خواه علم الابصار موجی و یا شیمی تحلیلی و یا هر چیزی دیگر به امری مشغولاند كه كوهن آن را "علم عادی" مینامد. كوشش دانشمندان عادی جهت تبیین و تطبیق رفتار برخی از چهرههای مربوط به هم عالم طبیعت كه به واسطة نتایج آزمایش آشكار گردیده، پارادایم را تفصیل و توسعه میبخشد. ضمن این كار، آنها لاجرم مشكلاتی را تجربه خواهند كرد و با مشاهدات خلاف انتظار یا اعوجاجهای آشكاری مواجه خواهند شد. اگر مشكلاتی از آن نوع را نتوان فهم و رفع نمود, وضعیتی "بحرانی" به وجود خواهد آمد. بحران هنگامی مرتفع خواهد شد كه پارادایم كاملاً جدیدی ظهور نماید و مورد حمایت روزافزون دانشمندان واقع شود تا جایی كه پارادایم مسألهانگیز اولیه در نهایت مطرود شود. پارادایم جدید، حاوی نویدهایی است و مشكلات ظاهراً فایق نیامدنی ندارد و از این پس, فعالیت علمی عادی جدید را هدایت میكند تا اینكه آن نیز با مشكلاتی جدی رو به رو شود و بحران جدیدی بزاید كه به دنبال آن, انقلاب جدیدی ظاهر شود. به نظر "چالمرز" ویژگی عمدة چنین طرح بیپایانی دربارة تحول یك علم،"تأكیدی است كه بر ممیزة انقلابی پیشرفتهای علمی دارد؛ به طوری كه طبق آن, انقلاب متضمن طرد و رفض یك ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگار دیگری باشد". (چالمرز، 1374، ص 13).
به طوری كه كوهن پارادایمهای پیش و پس از انقلاب را "قیاس ناپذیر" میداند. معمولاً گمان میشود در زمان یك انقلاب علمی، معیارهایی كه دانشمندان در ارزیابی رجحان یك نظریه بر نظریة رقیب استفاده مینمایند، عبارتاند از: "دقت پیشبینی به ویژه پیش بینی كمّی، توازن بین موضوعات روزمره و غامض، و تعداد مسائل مختلف حل شده " (kuhn;1970,p.206), اما كوهن معتقد است معیارهایی از این قبیل ارزشهای جامعة علمی را تشكیل میدهند و شیوههایی كه این ارزشها به مدد آن تعیین میشود "باید در تحلیل نهایی، روانشناختی یا جامعهشناختی باشد؛ به عبارت دیگر، باید توصیف یك نظام ارزشی یا یك ایدئولوژی باشد, همراه با تحلیلی از نهادهایی كه به واسطة آنها آن نظام انتقال و استحكام مییابد" (lakatos and musgrave; 1970, p.21) "هیچ معیاری بالاتر از موافقت جامعة مربوطه نیست" (kohn; 1970, p.94) كوهن این ادعا را با مثالهایی از تاریخ علم در حوزههایی همچون فیزیك، نجوم و شیمی دركتاب ساختار انقلابهای علمی بیان میكند. پرسشی كه مطرح میگردد این است كه آیا این گونه تحول را درحوزههای دیگر علوم نیز میتوان دید؟ در این میان, ریاضیات از اهمیت بسزایی برخوردار است؛ زیرا معمولاً تصور میشود كه ریاضیات صرفاً یك سری مدلهای مجرد منطقی به همراه علایم صوری است كه به دور از ویژگیهای روانی و شخصیتی ریاضیدانان و خصوصیات و تعلقات جامعهای كه در آن زندگی میكنند، در ذهن ریاضیدان شكل میگیرد و هنگامی كه در جامعة ریاضی مطرح میشود، ریاضیدانان به دور از تعلقات گروهی، اجتماعی و تعهدات متافیزیكی كه متأثر از نوع نگرش جامعهای است كه در آن زندگی میكنند، به ارزیابی آن میپردازند و باتوجه به معیارهایی چون پیروی از اصول منطق و سازگاری میان اصول موضوعه و قضایا، دربارة صحت و سقم آن تصمیم میگیرند. همچنین ریاضیدانان انسانهایی معقولاند كه تنها به صحت و درستی منطقی یك ساختار ریاضی میاندیشند و اگر نظریهای ریاضی این شرط را برآورده نماید, مورد پذیرش جامعة ریاضی قرار خواهد گرفت. در این مقاله سعی شده با ارائة نمونهای از تاریخ هندسه, یعنی انقلاب نااقلیدسی، اولاً پارادایمی بودن هندسة اقلیدسی در مدت بیش از دو هزار سال _ از یونان باستان تا قرن نوزدهم _ نشان داده شود و ثانیاً اعوجاج بودن اصل توازی برای پارادایم هندسه اقلیدسی در این دوران بررسی گردد و نشان داده شود كه چگونه این اعوجاج سرانجام به بحرانی در این حوزه در اوایل قرن نوزدهم میانجامد و نهایتاً انقلاب نااقلیدسی را در پی میآورد. ثالثاً نشان داده میشود كه چگونه جامعة ریاضیدانها براساس ارزشها، باورها و تعهدات متافیزیكی خود, در رویارویی با هندسة جدید, واكنشی خصمانه بروز میدهند و چگونه سرانجام شهرت و اعتبار ریاضیدانی كه از هندسه نااقلیدسی حمایت میكند - ونه صرفاً سازگاری منطقی هندسه نااقلیدسی - سبب پذیرش هندسة جدید میگردد.
1ـ اصول (Elements)
سدة چهارم پیش از میلاد, مسیح ناظر شكوفایی آكادمی علوم و فلسفة افلاطون بود. تقریباً تمامی كارهای مهم ریاضی این دوره به وسیلة دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده است. تأثیر افلاطون بر ریاضیات، معلول هیچ یك از كشفیّات ریاضی وی نبوده است؛ بلكه به سبب این اعتقاد شورآمیز وی بود كه مطالعة ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم میآورد و از این رو, در پرورش فیلسوفان و كسانی كه باید دولت آرمانی وی را اداره میكردند، نقش اساسی داشت. از نظر وی "ریاضیات وضع واسطهای بین صور و اشیا دارند "و " صفات محسوس اجسام به ساختمان هندسی ذرات آنها بستگی دارد. این ساختمان هندسی به وسیلة ساختمان سطوح آنها متعین میشود و ساختمان سطوح آنها بوسیلة ساختمان دو نوع مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه و قائم الزاویه مختلف الاضلاع، كه از آنها ساخته شدهاند."(كاپلستون، 1368, ص 225). از این رو هندسه برای او اهمیت بسیار داشت. این اعتقاد، شعار معروف او را بر سر در آكادمیاش توجیه میكند: «كسی كه هندسه نمیداند داخل نشود».
اقلیدس یكی از شاگردان مكتب افلاطون بود. وی سعی كرد ریاضیاتی را كه توسط فیثاغورسیان شروع شده بود و بعداً بقراط، ائودوكسوس، تئاتیتوس و دیگران مطالبی به آن افزوده بودند، در كتابی به نام اصول گردآوری نماید. ارزش عمدة این اثر در گزینش ماهرانة قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست. اقلیدس در اصول سعی كرد تا نمونهای از تفكر اصل موضوعی را ارائه نماید. برای اینكه گزارهای در یك دستگاه قیاسی اثبات شود، باید نشان داد كه این گزاره پیامد منطقی لازم چند گزاره است كه قبلاً به اثبات رسیدهاند. گزارههای اخیر نیز خود باید به كمك گزارههایی كه قبلاً اثبات شدهاند ثابت شوند و به همین ترتیب تا آخر. چون این تسلسل را نمیتوان به طور نامحدود ادامه داد، در ابتدای امر، باید مجموعة محدودی از گزارهها پذیرفته شوند. این گزارههای بدواً پذیرفته شده, "پوستولاها" یا "اصول موضوعه" مبحث نامیده میشوند و تمام گزارههای دیگر مبحث باید به طور منطقی به وسیلة آنها ایجاب شوند. وقتی كه گزارههای یك مبحث بدین صورت منظم شوند، گفته میشود كه مبحث در شكل اصل موضوعی عرضه شده است. یكی از مهم ترین كارهای اقلیدس در كتاب اصول, بیان هندسه در قالب یك سیستم اصل موضوعی بود. در ساختن چنین سیستمی یك سری اصطلاحات هندسی همچون "نقطه" و "خط" به كار میرفتند كه وی نهایت سعی خود را به كار گرفت تا همة این اصطلاحات را تعریف نماید. مثلاً او نقطه را "چیزی كه هیچ جزء ندارد" و "خط" را "طولی بدون پهنا" تعریف نمود. همچنین او "خط مستقیم" را چنین تعریف مینماید: "خطی كه به نحوی هموار بر نقاطی كه برخود آن هستند قرار داشته باشد".
پنج اصل معروف وی در باب هندسه عبارتاند از:
اصل اول: از هر نقطه میتوان خط مستقیمی به هر نقطة دیگر كشید.
اصل دوم: هر پارهخط مستقیم را میتوان روی همانخط بطور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم: میتوان دایرهای با هر نقطة دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعی مساوی هر پارهخط رسم شده از مركز آن ترسیم كرد.
اصل چهارم: همة زوایای قائمه با هم مساویاند.
اصل پنجم: اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم را قطع كند, بهطوری كه مجموع زوایای داخلی یك طرف آن كمتر از دو قائمه باشد، این دو خط مستقیم، اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند، در طرفی كه دو زاویه مجموعاً از دو قائمه كمترند، همدیگر را قطع خواهند كرد.
اقلیدس با استفاده از این تعاریف و اصول, كلیه قضایای هندسی را ثابت كرد. ج. جیكسترویز (E.J.Dijksterhuis) در كتاب ارزشمند مكانیكی كردن تصویر جهان (The Non-Euclidean Revolution) صفحات 50 تا 52 سه عامل مهم را بیان میكند كه سبب پذیرش و اقبال شگفتآور به كتاب اصول شد. وی معتقد است اولاً, اقلیدس در مقالة چهارم كتاب اصول, بیان استادانهای از نظریة ائودوكسوس در مورد تناسب ارائه مینماید. این نظریه قابل استفاده در كمیتهای نامتوافق و متوافق, "رسوایی منطقی" ناشی از كشف اعداد ناگویا به وسیلة فیثاغورس را حل كرد كه یكی از دستاوردهای مهم ریاضیات یونانی بود و الگویی برای ارائة راهحلهای مسائل دیگر قرار گرفت. ثانیاً, ریاضیات یونانی فاقد نمادهای مناسب ریاضی بود. آنها از حروف برای نمایش اعداد استفاده میكردند و معادلات جبری را با پرگویی بسیار بیان میكردند. اقلیدس در مقالة پنجم اصول كه نظریة ائودوكسوس دربارة تناسب را در هندسه مسطحه به كار میبرد، راه حل هندسی برای معادلات درجة دوم ارائه میكند. این روش هندسی بسیار مختصر و موجزتر از روشهای جبری بود كه با پرگوییهای بسیار همراه بود. ثالثاً, از همة مهمتر نوع نگرش حاكم بر حوزة ریاضیات و فلسفه بود. این حوزهها به شدت تحت تأثیر فلسفه افلاطون بودند. مطابق نگرش وی, هندسه دربارة "مثل" عالم بالا صحبت میكند. اگر ما در مواردی در زندگی روزمره, ناگزیر به استفاده از نمایش اشكال هندسی هستیم, تنها برای تذكر به آن مثل میباشد. افلاطون چنان مقامی برای هندسه قائل بود كه وقتی در رسالة منون برای وضوح بخشیدن به یكی از آرای خویش, یعنی نظریة تذكر، به ریاضیات توسل میجوید، از قضیهای استفاده مینماید كه قابل نمایش هندسی است. این عوامل سبب شد به محض اینكه اصول پدید آمد, نهایت توجه را به خود جلب كرد؛ بهطوری كه هاورد. و. ایوز (Howard W.Eves) مورخ ریاضی امریكایی، اصول را یكی از خط سیرهای مهم تكامل ریاضیات در یونان میداند. وی میگوید: "در تكامل ریاضیات طی 300 سال اول ریاضیات یونانی, سه خط سیر مهم و متمایز را میتوان تشخیص داد؛ ابتدا، بسط مطالبی است كه مآلاً در اصول مدون شد... خط سیر دوم, شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بینهایت كوچكها... و سومین مسیر تكامل, مربوط به هندسه عالی یا هندسة منحنیهایی به جز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از كره و صفحه است» (ایوز، 1368، ص 101).
مقام رفیعی كه هندسه بهواسطة اصول و نگرش افلاطونی به ریاضیات یافت, چنان بود كه تفكر علمی دانشمندان حوزههای علم الابصار و علم مكانیكی نیز عادتاً به كمك اشكال فضایی صورت میگرفت.
2ـ عصر هندسة اقلیدسی
در قرون وسطا, ریاضیات مجرد و بالاخص هندسه چندان توسعهای نیافت. بلكه صرفاً به جنبههای علمی این موضوع كه با تجارت و شهرسازی مربوط میشد اكتفا میگشت. اما در اواخر قرون وسطا كاوشهای ریاضی جان تازهای گرفت. لئوناردو داوینچی در مكانیك و هیدرولیك و اپتیك، آزمونهای وسیعی به عمل آورد، همة مسبوق بدین فرض كه نتایج متقن را باید به زبان ریاضی بیان كرد و به نمایش هندسی باز نمود. در قرن بعد، یعنی قرن ظهور كتاب دوران ساز كپرنیك، دیگر همة متفكران بزرگ در مكانیك و سایر علوم فیزیكی _ ریاضی به روش هندسی گردن نهاده بودند. تارتاگلیا در كتاب علم جدید (Tartaglia: Nova Scienza) خود، كه به سال 1537 انتشار یافت، همین روش را در حل مسألة سقوط اجسام و برد نهایی پرتابهها به كار برد و ستی ونوس (Stevinus) (1630-1548) طرح خاصی را به كار گرفت تا به كمك خطوط هندسی، نیرو و حركت و زمان را مصور سازد.
در سدههای پانزدهم و شانزدهم، نمادهای جبری رواج یافتند؛ اما این سبب كاسته شدن از اوج و اعتبار هندسه نشد. برای نمونه, باید به كاوشهای ریاضی در این دو قرن كه دربارة تئوری معادلات بود، اشاره نمود. این كاوشها دربارة یافتن روشهایی برای تبدیل و ساده كردن (Reduction) و حل معادلات درجة دوم و سوم بود. مثلاً پاچیولی (Pacioli) (متوفی به حدود سال 1510) بیشتر به دنبال آن بود كه علم بالندة جبر را در تحقیق خواص اشكال هندسی به كار گیرد. مسائلی كه با آنها سروكار داشت از این قبیل بود؛ شعاع دایرهای كه در مثلثی محاط شده, چهار اینچ است؛ قطعاتی از یك ضلع كه در دو طرف نقطة تماس (دایره و مثلث) قرار دارند, شش اینچ و هشت اینچ است؛ طول دو ضلع دیگر را تعیین كنید. دانشجویان این روزگار، با یك معادلة سادة جبری مسأله را حل میكنند, ولی پاچیولی جز از طریق یك ترسیم پیچیدة هندسی, بدین منظور نائل نمیآمد و از جبر فقط برای محاسبة طول پاره خطهای منظور بهره میجست. به همین نحوه, برای حل معادلات درجة دوم و سوم نیز در قرن شانزدهم همواره از روشهای هندسی بهره میجستند. بال (Ball) نمونة دلپذیری را ذكر میكند كه فی المثل كاردانوس (Cardanus) برای حل معادلة درجة سوم r =qx+ 3 x از چه راه پر مشقتی عبور میكرد (برت, صص35و 34).
رفته رفته امكانات وسیعی كه در نمادهای جبری نهفته بود از قوه به فعل رسید و ریاضیدانان با روشهای پیچیدهتر آشنایی یافتند، در عین اینكه هنوز هم به نمایش هندسی تحقیقات خویش متكی بودند. به زمان كاردانوس كه میرسیم، مسائل مبتلا به متفكران به درجهای از غموض و تركب میرسد كه معادلات مربوط, محتاج تبدیلات و به خصوص ساده كردنهای مكرر، با حفظ مقدار اصلی میشوند و به زبان هندسی، لازم میآید كه اشكال مركب را به اشكال سادهتر برگردانند، به طوری كه یك دایره یا مثلث ساده, جانشین اشكال مركب و متعدد گردد. این كار، غالباً كار پیچیدهای هم بود و از اینرو طرحهای مكانیكی مختلفی تدبیر كرده بودند تا به كمك ریاضیدانان آید. گالیله در سال 1597 یك راهنمای هندسی منتشر كرد, متشكل از یك رشته قواعد مشروح برای تبدیل اشكال بیقاعده و یا تركیب چند شكل باقاعده و تبدیل آنها به یك شكل با قاعده و اعمال این قواعد در حل مسائل خاصی چون به دست آوردن جذر اعداد، واسطة هندسی و امثال آنها. به كارگیری روشهای ساده كردن و تبدیل اشكال هندسی از مشخصات ریاضیات قرن شانزدهم است.
افلاطونیگری شایع و نیمه نهان آن عصر, جهان را جوهراً هندسی میدید و مقدمات بسیط و واپسین آن را ابعاض محدود فضا میدانست و كلاً آن را مجسم یك نظم هندسی ساده و زیبا میدانست. تمام متفكران عهد كهن و قرون وسطا, فضای هندسی و فضای واقعی عالم را یكی میدانستند. برای فیثاغوریان و افلاطونیان، وحدت این دو فضا, خود نظریة ما بعد الطبیعی مهمی بود. دیگر مكتبها هم بر همین باور بودند، لیكن مدلولات كیهانشناختی آن را بهطور شایسته مورد توجه قرار نمیدادند. نزد اقلیدس، وحدت فضای فیزیكی و فضای هندسی جزو مسلمات بود. كتاب اول اصول، اصلهای هشتم و دهم و نیز قضیة چهارم و كتاب یازدهم, قضایای سوم و هفتم و به خصوص كتاب دوازدهم، قضیه دوم شاهدی بر این ادعا هستند. از این رو نجوم, شاخهای از هندسه شمرده میشد و در واقع, آن را هندسة افلاك میدانستند. ادوین آرتور برت در كتاب ارزشمند مبانی مابعدالطبیعی علوم نوین معتقد است كه همین تصور از نجوم, یكی از عوامل بسیار مهمی بود كه كپرنیك را واداشت تا نظریة خورشید مركزی را ارائه دهد: "حال كه علم نجوم در اصل همان علم به هندسة افلاك دانسته میشد و حال كه به روشهای هندسی، معادلات جبری را سادهتر میكنند و یا به اشكال دیگری بر میگردانند، چه اشكالی دارد همین روشهای ساده كردن و تبدیل كردن را در علم نجوم هم به كار گیریم. اگر علم نجوم پارهای از ریاضیات است, باید نسبت مقادیر ریاضی در آن هم جاری باشد؛ یعنی حركاتی كه بر روی نقشة سماوی به اجرام نسبت میدهیم, باید یكسره نسبی باشد و از لحاظ انطباق با واقع، هر نقطهای را بتوانیم به منزلة مرجع نظام فضایی خود برگزینیم. كپرنیك درست به همین شیوه، هیأت جدید را براندیشید و نظام خورشید مركزی را از آن جهت كه سادهتر و موزونتر از نظام زمین مركزی است برگزید (برت، 1369، ص 38 و 40). این نگرش هندسی به هستی و تعهدات متافیزیكی متعاقب آن, هندسه را همچون پارادایمی حاكم بر پژوهشهای علمی و تحولات فكری فلسفی این عصر درآورده بود. این پارادایم به دانشمند میگفت كه در مواجهه با مسائلی كه در پژوهشهای خود با آن روبه رو میشوند، باید به جستجوی یافتن كدامین پاسخها باشند. پاسخهایی كه بتوان آنها را در قالب مفاهیم و اصطلاحات هندسی صورتبندی نمود و با نظریة هندسة اقلیدسی متلائم كرد. گالیله میگفت: "در این كتاب بزرگ كه همواره پیش چشم ماست، یعنی كتاب طبیعت، حكمت را نگاشتهاند؛ لكن ما به درك آن نایل نمیشویم, مگر اینكه بدانیم به چه زبان و علایمی آن را نوشتهاند. این كتاب را به زبان ریاضی نوشتهاند و علایم آن هم عبارت است از مثلث، دایره و سایر اشكال هندسی. بدون كمك این زبان و این علایم، محال است كه یك كلمه از این كتاب را دریابیم؛ و بدون درك این كتاب، آدمی در هزار تویی تاریك، سرگردان و یاوهگرد خواهد شد» (برت، 1369، ص 66).
با ظهور نیوتن, روشهای جبری تكامل قابل توجهی یافت. نیوتن با ابداع حساب مشتقات, ابزاری ساخت كه همة هنرنماییهایش قابل نمایش هندسی نبودند. از این رو، روشهای جبری را بیش از پیش توسعه داد. با وجود این, در بیان مفهوم "فضا و زمان" در فیزیكاش به یك نظام هندسی كامل معتقد بود.
پارادایم هندسة اقلیدسی، پس از انقلاب علمی، نهتنها دانشمندان, بلكه پژوهش فیلسوفان دربارة فضا و زمان را نیز به شدت تحت تأثیر قرار داد. از جملة این فیلسوفان میتوان به دكارت، مور، مالبرانش و برو اشاره نمود. این فیلسوفان قبل از نیوتن بودند. اما پس از وی، كانت را میتوان از مهم ترین فیلسوفانی دانست كه افكارش دربارة فضا و زمان بر قوام هندسة اقلیدسی به عنوان تنها هندسة متصور برای جهان, بیش از پیش تأكید كرد.
كانت در پی حقایقی بود كه زندگی روزانه انسانها بدون اعتقاد به آنها غیر ممكن است. این حقایق لزوماً حقایق منطقی نیستند. از نظر كانت, قضایای تركیبی پیشین از جملة این حقایقاند و هندسة اقلیدسی مجموعهای از قضایای تركیبی پیشینی است دربارة ساختار مكانی كه به ادراك در میآید. بنابراین اصول و قضایای هندسة اقلیدسی جزو حقایقی هستند كه ما تنها بدان صورت جهان را ادراك میكنیم. ترودائو (Richard J. Trudeau) در كتاب انقلاب غیراقلیدسی (The Non-Euclidean Revolution) چنین میگوید: "كانت اظهار نمود كه تنها تبیین همان است كه اصول اقلیدس دربارة چگونگی پردازشگری دادههای حسی، دادههایی كه فضای حقیقی را تشكیل میدهند، توصیف مینماید. فضای پردازش شده، فضای مطالعه شده در هندسه، تحت قلمرو اصول اقلیدس است؛ زیرا اصول اقلیدس همان اصولی هستند كه فضا به وسیلة آنها تشكیل شده است! عدم توانایی ما در تردید در اصول اقلیدس، انعكاسی از این حقیقت است كه مغز ما به همانگونه ساخته شده كه ما واقعاً قادر نیستیم دربارة فضا به روش دیگر فكر كنیم (trudeau ;1987,p.113).
اظهارات كانت و طرفداری وی از مفهوم فضا و زمان نیوتنی, سبب شد كه این اعتقاد كه تنها یك هندسه وجود دارد و آن هندسة اقلیدسی است، تنها تفكر حاكم بر دانشمندان و فیلسوفان قرون هیجده و نوزده شود.
3ـ اصل توازی
اقلیدس اصل پنجم از اصول هندسة خود را چنین بیان میكند: "هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را قطع كند و مجموع زوایای درونی یك طرف آن خط از دو قائمه كمتر باشد، اگر این دو خط را بینهایت امتداد دهیم، سرانجام در همان طرفی كه مجموع زوایا كمتر از دو قائمه است, یكدیگر را قطع میكنند". بیان دیگری از این اصل آن است كه بگوییم كه از هر نقطه غیر واقع بر یك خط, یك و فقط یك خط به موازات آن میتوان رسم كرد. از این رو این اصل به اصل توازی هم مشهور است. اقلیدس خود به اصل بودن آن, اعتماد چندانی نداشت و این واقعیت مؤید آن است كه او استفاده از آن را برای اثبات قضایا، تا آنجا كه ممكن بوده - تا گزارة بیست و نهمش - به تعویق انداخته است. خود این اصل نیز، هم توسط یونانیان زمان اقلیدس و هم در سدههای بعد, مورد تردید قرار گرفته است و عدة بسیاری سعی در اثبات آن از اصول پیشین داشتهاند.
نخستین تلاشی كه برای اثبات به عمل آمده، توسط بطلمیوس بوده است. اما استدلال او به دور منجر میشد. پروكلوس (Proclus) (410 تا 485 بعد از میلاد)، كه شرح او بر كتاب اصول یكی از منابع اصلی اطلاعات ما در زمینة هندسه یونان است، از اصل توازی بدین گونه انتقاد كرده است: "این را باید حتی از شمار اصول موضوعه بیرون آورد؛ زیرا این قضیهای است كه دشواریهای زیادی در بر دارد و بطلمیوس در كتابی به گشودن آنها همت گمارده است... این كلمه كه، چون دو خط را هرچه بیشتر امتداد دهیم بیش از پیش به هم نزدیك میشوند و سرانجام همدیگر را قطع میكنند، پذیرفتنی است ولی نه همیشه " (گرینبرگ،1370، ص 124). پروكلوس هذلولی را مثال میزند كه آن اندازه كه بتوان تصور كرد, به مجانبهایش نزدیك میشود, بیآنكه هرگز آنها را قطع كند. او میگوید: "پس روشن است كه باید برای این قضیه كنونی برهانی بیابیم و این مخالف ماهیت خاص اصل موضوعه است "(همان).
از مهمترین تلاشهایی كه بعدها برای اثبات اصل توازی به عمل آمده, از خواجه نصیرالدین طوسی (1274-1201) است. سپس جان والیس (John Wallis) (1703-1616) با بیان اصل موضوعة جدیدی به جای اصل پنجم (اصل توازی), سعی در اثبات آن نمود. وی فكر میكرد كه اصل موضوعة وی, قابل قبولتر از اصل توازی است. اما معلوم شد كه اصل والیس و اصل پنجم اقلیدس منطقاَ هم عرض می باشند, سپس جیرو لامو ساكری (girolamo saccheri) (1733- 1667) در كتاب كوچكی به نام _ اقلیدس عاری از هرگونه نقص _ سعی در ارائة اثباتی با استفاده از برهان خلف برآمد. وی نقیض اصل توازی را پذیرفت و سپس سعی كرد تا تناقص را از آن نتیجه بگیرد. وی به ویژه بعضی از چهار ضلعیها را كه زوایای مجاور به قاعده شان قائم و اضلاع این زوایا با هم قابل انطباِقاند, مورد مطالعه قرارداد.
سه حالت ممكن است پیش بیاید: 1ـ زاویههای بالایی قائماند؛ 2ـ زاویههای بالایی منفرجهاند؛ 3ـ زاویههای بالایی حادهاند. برای اثبات حالت اول، یعنی همان حالتی كه در هندسة اقلیدسی هست، ساكری (saccheri)كوشش كرد نشان دهد كه دو حالت دیگر به تناقض منجر میشوند. او توانست نشان دهد كه حالت دوم منجر به تناقض میشود؛ ولی هر اندازه كوشش كرد نتوانست تناقضی در حالت سوم به دست آورد و آن را "فرض خصمانة زاویه حاده" نامید. او موفق شد نتایج بسیار عجیبی بدست آورد، ولی تناقضی بدست نیاورد و سرانجام از روی عجز بانگ برآورد: "فرض زاویة حاده مطلقاً غلط است، زیرا كه این فرض با ذات خط مستقیم ناسازگار است !" به قول ماروین جی گرینبرگ: "درست شبیه مردی كه الماس نایابی را كشف كرده باشد, ولی نتواند آنچه را میبیند باور كند و بانگ بر آورد كه شیشه است !" (همان، ص 131).
تلاشهایی كه برای اثبات اصل پنجم اقلیدس صورت گرفته بود, به اندازهای زیاد بود كه گ.ز.كلوگل (G. S. Klugel) در سال 1763 موفق شد رسالهای برای دكترا تهیه كند كه در آن نقایص 28 برهان مختلف از اصل توازی را پیدا و در ثابت شدنی بودن آن اظهار تردید كند. دایرةالمعارف نویس و ریاضیدان فرانسوی ژ.ل.ر.دالامبر(J.L.R.d Alember) این وضع را "افتضاح هندسه" نامیده بود. اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسة اقلیدسی بود. بیش از دو هزار سال ریاضیدانان تلاش میكردند كه به گونهای آن را مرتفع سازند, اما همواره با شكست روبه رو میشدند. ریاضیدانان به تدریج نومید میگشتند. فوركوش بویوئی(Bolyai) مجارستانی به پسرش یانوش نوشت: "تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازیها تلاش كنی. من پیچ و خمهای این راه را از اول تا آخر آن میشناسم، این شب بیپایان را كه همة روشنایی و شادمانی زندگی مرا به كام نابودی فرو برده است سپری كردهام. التماس میكنم كه دانش موازیها را رها كنی. من در این اندیشه بودم كه خود را در راه حقیقت فدا كنم. حاضر بودم شهیدی باشم كه این نقص هندسه را مرتفع سازد و پاك شدة آن را به عالم بشریت تقدیم نماید. من زحمتی عظیم و سترگ كشیدم. آنچه را كه من آفریدم به مراتب برتر از آفریدة دیگران است. ولی باز هم رضایت خاطر به دست نیاوردم... وقتی دریافتم كه هیچ كس نمیتواند به پایان این شب ظلمانی راه یابد، بازگشتم. بیتسلای خاطر بازگشتم، در حالی كه برای خود و بشریت متأسف بودم... من مدتها در این دیار بودهام و به تمامی صخرههای جهنمی این دریای مرده سفر كردهام و همیشه هم با دكل شكسته و بادبان پاره پاره برگشتهام. تباهی وضع و سقوط من به آن دوران باز میگردد. من از روی بیفكری زندگانی و خوشبختایم را به مخاطره افكندم" (همان، ص 132).
این ناكامیها نشانة بروز بحرانی جدی در پارادایم اقلیدسی بود. جالب آنكه ریاضیدانان كه معمولاً تصور میشود به لحاظ نوع فعالیتی كه انجام میدهند, افرادی منطقیاند به مدت بیش از دو هزار سال بر این فكر پای فشردند كه اصل پنجم اقلیدسی، اصلی وابسته به سایر اصول است و بهرغم تلاشهای بیشمارشان در جهت اثبات آن كه همواره با شكست مواجه میشد، هیچگاه بدین فكر نیفتادند كه شاید اصل توازی واقعاً یك اصل باشد؛ اصلی مستقل از سایر اصول. گرچه در این مدت عدة انگشتشماری با این تصور حاكم بر جامعة ریاضی مخالفت نمودند, اما جامعة ریاضیدانان هیچگاه بدانها اجازه بروز نداد. تا اینكه در قرن نوزدهم چند تن از ریاضیدانان همزمان به این موضوع اندیشیدند كه شاید اصل اقلیدس اصلی مستقل از سایر اصول باشد.
4ـ انقلاب نااقلیدسی
یانوش بویوئی از اخطار پدر نهراسید؛ زیرا اندیشة كاملاً تازهای را در سر میپرورانید. او فرض میكرد كه نقیض اصل اقلیدس حكمی بیمعنا نیست. وی در 1823 به پدرش چنین مینویسد:
"چیزهایی كه كشف كردهام به اندازهای شگفتانگیزند كه خودم حیرت زده شدهام و بدبختی جبران ناپذیری خواهد بود اگر اینها از دست بروند... در شرایط كنونی, تنها چیزی كه میتوانم بگویم این است كه از هیچ، دنیایی تازه و شگفتانگیز آفریدهام" (همانجا، ص 132). پدر یانوش كار وی را برای گاوس (Gauss) شاهزادة ریاضیدانها فرستاد. اما برخورد سرد گاوس موجب سرخوردگی یانوش شد؛ به گونهای كه هرگز به فكر انتشار پژوهشهایش نیفتاد.
اما شواهدی در دست است كه گاوس پیشتر از بویوئی به برخی اكتشافات هندسه نااقلیدسی دست یافته بوده است. در 1817 گاوس به و.البرس (W. Olbers) نوشت: "دارم بیش از پیش متقاعد میشوم كه لزوم اینكه هندسه ما باید اقلیدسی باشد، دست كم نه با عقل آدمی و نه برای عقل آدمی، نمیتواند اثبات شود. شاید در حیاتی دیگر بتوانیم بینش درونی از ماهیت فضا بهدست آوریم كه اكنون دست یافتنی نیست " (همان، ص 149). وی در نامهای دیگر در 1824 به ف.آ. تاورینوس (F.A. Taurinus) میگوید: "پذیرفتن اینكه مجموع سه زاویه كمتر از180 باشد, به هندسة شگفتانگیزی منجر میشود كه با هندسة اقلیدسی ما به كلی متفاوت، اما كاملاً سازگار است و من آن را بسط دادهام و كاملاً از آن راضی هستم... همة تلاشهای من برای یافتن یك تناقض یا یك ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شكست انجامیده است... چنین بهنظر میرسد كه بهرغم گفتههای خردمندمآبانة حكمای مابعدالطبیعه، باید گفت كه ما دربارة ماهیت واقعی فضا بسیار كم میدانیم، یا بهتر بگویم اصلاً نمیدانیم تا بگوییم كه فلان امر مطلقاً غیر ممكن است, فقط به این دلیل كه غیرعادی بهنظر میرسد" (همان، ص 151).
وی در جای دیگری از نامهاش مینویسد: "پروا ندارم از اینكه آنچه گفتم, مورد سوء تعبیر كسانی واقع شود كه به ظاهر ذهن ریاضی اندیشی دارند؛ ولی درهرحال، این را به عنوان یك نامة خصوصی تلقی كنید كه به هیچ وجه مورد استفادة عمومی یا مورد استفادهای كه به نحوی صورت تبلیغ پیدا كند، قرار نگیرد. شاید خودم در آینده، هنگامی كه نسبت به امروز, فراغت بیشتری دست دهد، بررسیهایم را منتشر سازم" (همان)، اما گاوس هیچگاه آثار خود را منتشر ننمود، چرا؟
منظور گاوس از "حكمای مابعدالطبیعه" در نامهاش، پیروان كانت بودند. كشف هندسة نااقلیدسی به دست گاوس، این نظر كانت را كه فضای اقلیدسی ذاتی ساختار ذهن ماست، رد میكرد. از آنجا كه فلسفة كانت در اواخر سدة هیجدهم و بیشتر سدة نوزدهم در سراسر اروپا رواج داشت، اظهارات گاوس میتوانست منجر به كشمكشها و حملات فراوانی به وی گردد. از این رو, گاوس از علنی ساختن آثار انقلابیاش عملاً بیمناك بود. باید توجه كرد كه گاوس یك ریاضیدان معمولی زمان خویش نبود؛ او كسی بود كه لئویولد كرونكر (Kronecker) دربارهاش چنین میگوید: "تكامل تدریجی و توسعة منظم دانش حساب و تقریباً تمام آنچه در ریاضیات قرن ما (نوزدهم) انجام گرفت, در خط سیر افكار بدیعی بوده است كه به وسیلة گاوس داده شد" (بنقل از تمپل بل، 1363، ص 250).
هاورد ایوز (Howard W.Eves)نیز وی را چنین توصیف میكند:"قرون هیجدهم و نوزدهم در زیر سیطرة ریاضی پر صلابت كارل فریدریش گاوس، همچون گسترة خلیج رودس در زیر پای تندیس عظیم آپولون قرار دارد." وی را عموماً بزرگترین ریاضیدان قرن نوزدهم و همراه با ارشمیدس و نیوتن، یكی از بزرگترین ریاضیدانان همة اعصار برشمردهاند" (ایوز، 1368، ص167). اهمیت علمی گاوس تا بدان درجه است كه وی شهزادة ریاضیدانان نامیده شده است. با وجود این اعتبار علمی، گاوس در برابر جامعهای كه غرق در هندسة اقلیدسی بود، جرأت اظهار نظرهایش را نداشت.
تصور عموم از ریاضیدانان چنان است كه آنها هر نظریة ریاضی را با معیار و ملاك منطق، درستی استدلالها و سازگاری آن میسنجند و در صورتی كه نظریهای واجد این شرایط باشد, در برابر آن سر تسلیم فرود میآورند. اما به نظر میرسد كه پذیرش و مقبولیت یك نظریه در یك جامعة علمی بستگی دارد به این كه برای جامعة مورد نظر چه چیزی مهم باشد و یا به چه امری ارزش بنهد. برای جامعة ریاضی قرن نوزدهم كه نهتنها هندسة اقلیدسی را تنها تبیینكنندة عالم هستی میدانست, بلكه شیوة ادراك ما از عالم هستی را به صورت هندسة اقلیدسی میدانست، تنها مسائلی كه برایش مهم بودند، قوام بخشیدن به این هندسه و رفع مشكلات آن بود. واضح است كه در این صورت, بیان هندسة دیگری نمیتوانست از منزلت چندانی برخوردار باشد و اعتراضات شدیدی را در پیداشت. این بدان معنا نیست كه پیروی از منطق و سازگاری یك نظریة ریاضی در پذیرش آن مورد توجه ریاضیدانان قرار نمیگیرد؛ بلكه متذكر این نكته است كه منطق تنها عامل پذیرش یك نظریه نیست؛ بلكه تعلقات متافیزیكی جامعة علمی نیز درآن مؤثر است و گاهی این تأثیر بسیار عمیقتر از تأثیر عوامل منطقی و ریاضی است؛ بهطوری كه ریاضیدان شهیری مثل گاوس, بیم بیان نظرهایش را دربارة هندسه نااقلیدسی دارد. حتی نیكلای لباچفسكی (Lobachevsky) كه در سال 1829 جرأت انتشار مقالهاش در باب هندسة نااقلیدسی را یافت، نتوانست توجه جامعة علمی را بخود جلب كند. حال این پرسش مطرح میشود كه سرانجام، چگونه هندسه نااقلیدسی مورد پذیرش قرار گرفت؟ جالبترین نكتة این داستان در اینجاست كه تا وقتی مكاتبات گاوس پس از مرگ او در سال 1855 منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسة نااقلیدسی را جدی نگرفت. یعنی آنچه كه سبب مقبولیت هندسه نااقلیدسی شد، شهرت ریاضی همان گاوسی بود كه خودش جرأت انتشار آثارش دربارة هندسه نااقلیدسی را نداشت. همین شهرت سبب شد عدهای از بهترین ریاضیدانان, همچون بلترامی (Beltrami)، كلاین (Klein)، پوانكاره (Poincare) و ریمان (Rieman)موضوع را جدی گرفتند و بسط دادند و آن را در شاخههای دیگر ریاضیات به كار بردند و همین سبب مقبولیت هندسة نااقلیدسی شد. آنچه كه در پذیرش هندسة نااقلیدسی نقشی تعیینكنندهای ایفا كرد, این سخن پر بصیرت و ژرف كوهن بود كه در گزینش میان نظریههای علمی "هیچ میزانی بالاتر از توافق جامعة مربوطه وجود ندارد" (kuhn;1970,p.94). و این میزان وابسته به ارزشها و معیارهای فرامعرفتی آن جامعه است. در 1868 بلترامی برای آخرین بار مسألة اثبات اصل توازی را پیش كشید و ثابت كرد كه اثبات آن غیر ممكن است! او این كار را از این راه كه هندسه نااقلیدسی درست مثل هندسة اقلیدسی، هندسهای سازگار است، اثبات نمود. همچنین در سال 1854 ریمان با گذاشتن اصل دیگری بجای اصل توازی، هندسه جدیدی را بنا نهاد. در این هندسه, از یك نقطه غیر واقع بر یك خط هیچ خط, موازی با آن خط نمیگذارد.
5ـ هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی
پس ازانقلاب نااقلیدسی، مسألة اصل توازی كه بیش از دوهزار سال در هندسة اقلیدسی مسألهای جدی بود, بهكلی از میان رفت و با جانشینی اصول دیگری, هندسههای نوینی ابداع شد. از آنجا كه هندسههای نااقلیدسی از بطن هندسة اقلیدسی سر برآوردند, بسیاری از اصول و قضایای هندسه اقلیدسی حفظ شدند؛ اما برخی دیگر از اصول و قضایای آن یا به كلی از میان رفتند و یا نقیض آنها در هندسههای جدید پدیدار گشتند. خطی كه در هندسههای اقلیدسی و لباچفسكی با یك نقطه به دو بخش تقسیم میشوند در هندسة ریمانی به دو بخش تقسیم نمیگردند. خطوط موازی كه در هندسة اقلیدسی, هم فاصلهاند, در هندسة لباچفسكی هرگز هم فاصله نیستند و در هندسة ریمانی اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. اگر خطی یكی از دو خط موازی را قطع كند، در هندسة اقلیدسی باید دیگری را نیز قطع نماید, در حالیكه در هندسة لباچفسكی ممكن است قطع كند یا قطع نكند و در هندسة ریمانی چون خطوط موازی وجود ندارند، این موضوع مطرح نمیگردد. دو خط متمایز عمود بر یكخط در هندسة اقلیدسی و لباچفسكی موازیند, در حالی كه در هندسة ریمانی همدیگر را قطع میكنند. مجموع زوایای یك مثلث در هندسة اقلیدسی برابر با 180درجه, در هندسة لباچفسكی كمتر از 180درجه و در هندسة ریمانی بیشتر از180درجه است. مساحت یك مثلث در هندسة اقلیدسی مستقل از مجموع زوایای آن است, در حالیكه در هندسة لباچفسكی متناسب باكاهش زوایایمثلث ودر هندسة ریمانی متناسب با افزایش زوایای مثلث است.
پس از انقلاب نااقلیدسی و نشان دادن سازگاری تمام هندسههای نااقلیدسی, این سؤال مهم مطرح شد كه كدامیك از این هندسهها معرف یا حكایتگر جهان طبیعی است كه ما در آن زندگی میكنیم؟ یا به عبارتی دیگر, كدامیك از این هندسهها درستاند؟ هانری پوانكاره (1912-1854م.), ریاضیدان و فیزیكدان فرانسوی به این پرسش چنین پاسخ داد:
"اصول موضوعة هندسی نه شهودهای تركیبی پیشینی هستند و نه حقایق تجربی؛ بلكه قرارداد هستند. تنها انتخاب ما از میان همة قراردادهای ممكن به وسیلة حقایق تجربی رهبری میشود. ولی انتخاب ما آزاد است و فقط به لزوم اجتناب از هرگونه تناقض محدود میشود. بنابراین این اصولاند كه میتوانند دقیقاً درست باقی بمانند. حتی اگر قوانین تجربی كه موجب پذیرفته شدن آنها شدهاند, تقریبی باشند. به عبارت دیگر, اصول موضوعة هندسه, تنها عبارتاند از تعاریف در لباس مبدل. پس دربارة این پرسش كه " آیا هندسة اقلیدسی درست است؟" چه باید اندیشید؟ پرسش بیمعنا است، درست مثل اینكه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاسهای قدیم نادرستاند؟ آیا مختصات دكارتی درست و مختصات قطبی نادرستاند؟... هیچ هندسهای نمیتواند درستتر از هندسة دیگر باشد؛ تنها ممكن است مناسبتر باشد" (به نقل از گرینبرگ، 1370، ص 124). پرسش فوق و بحث متعاقب آن، بر این موضوع كه هندسه و بهطور كلی ریاضیات، از چه سخن میگوید, پرتوی تازه افكند. هندسه از پرتوهای نور صحبت نمیكند، ولی مسیر یك پرتو نور ممكن است تعبیر مادی از اصطلاح هندسی تعریف نشدة "خط" باشد. سبب این است كه برخی از اصطلاحات اولیه از قبیل نقطه، خط و صفحه تعریف نشدهاند و ممكن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بیآنكه در درستی نتایج تأثیری داشته باشد. از این رو هیلبرت (Hilbert), بزرگترین ریاضیدان قرن بیستم, كتاب مبانی هندسه(Foundation of Geometry) خود را با این "تعریف" آغاز میكند: "سه مجموعه از چیزهای جدا از هم را در نظر بگیرید. فرض كنید اشیای مجموعة اول نقاط نامیده شوند و با C,B,A و... نشان داده شوند. فرض كنید اشیای مجموعة دوم خطوط نامیده شوند و با c,b,a و... نمایش داده شوند. فرض كنید اشیای مجموعة سوم صفحات نامیده شوند و با a, b, d و..... نمایش داده شوند"(brown;1999, p.95). همچنین از او نقل شده است كه میگفته: "آدمی باید همیشه به جای نقطه و خط و صفحه بتواند میز و صندلی و لیوان آبجو بگوید" (گرینبرگ، ماروین جی، 1370، ص 57) در واقع, به جای اینكه بگوییم: "دو نقطه فقط یك خط را مشخص میكنند", میتوانیم بگوییم: " A و B فقط یك a را مشخص میسازند "با وجود تغییری كه در اصطلاحها داریم, باز هم اثبات همة قضایای ما معتبر خواهند ماند؛ زیرا دلیلهای درست به شكل و نمودار بسته نیستند, بلكه فقط به اصول موضوعهای كه وضع شدهاند و به قواعد منطق بستگی دارند. بنابراین هندسه, تمرینی است كاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احكامی میسازد به صورت "هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان میشود" و اساساً در آن صحبتی از معنای فرضها یا راست بودن آنها نیست. مفاهیم اولیه از قبیل خط و نقطه كه در فرضها ظاهر میگردند, به طور ضمنی به وسیلة این اصول موضوعه، كه درحكم قواعد بازی هستند و انگار بما میگویند چگونه باید بازی كرد، تعریف میشوند. این دیدگاه, كه هیلبرت اولین بار ادعاهایی در این باره در كتاب مبانی هندسهاش بیان نمود, بعدها منجر به پیدایش مكتب صورتگرایی در ریاضیات شد. مطابق این مكتب، ریاضیات با دستگاههای نمادی صوری سروكار دارد. در واقع، ریاضیات مجموعهای از آن مباحث مجرد تلقی میشود كه در آن, اصطلاحات صرفاً نمادهایی هستند و احكام، قواعدی (اصول) متضمن این نمادها. ریاضیات عاری از محتوای ملموس و تنها شامل عناصر نمادی آرمانی است. پرواضح است كه دیدگاه صورتگرایی با عقیدة كهنتری كه ریاضیات را "حقیقت محض" میپنداشت و از زمان اقلیدس تا قرن نوزدهم بر ریاضیات، فیزیك و نجوم سایه افكنده بود و پژوهشهای عالمان این حوزهها را هدایت میكرد و كشف هندسة نااقلیدسی بنای آن را به كلی فرو ریخت، اساساً ناسازگار است. پس از انقلاب نااقلیدسی, ریاضیدانان آزاد بودند كه هر مجموعهای از اصول موضوعه را كه دلشان بخواهد ابداع كنند و بر آنها نتایجی مترتب سازند. ژان دیودونه در این باره چنین میگوید: "در تاریخ ریاضیات این كشف نقطة عطف بسیار مهمی بود كه اولین مرحله را در مفهوم تازهای از رابطة بین جهان واقعی و مفهومهای ریاضی كه گمان میرود به آن مربوطاند, نشان میداد"با كشف گاوس دربارة هندسه نااقلیدسی این دیدگاه نسبتاً ضعیف كه اشیای ریاضی تنها "مثل" (به معنا افلاطونی) اشیای محسوساند, دیگر نگهداشتنی نبود و تدریجاً جای خود را به دریافتی روشنتر از پیچیدگی خیلی بیشتر مسأله داد كه در آن, امروز چنین به نظر میرسد كه ریاضیات و واقعیت تقریباً به طور كامل از هم مستقل شدهاند و تماس آنها اسرار آمیزتر از همیشه شده است" (همان، ص 254).
بهطور كلی, پس از انقلاب نااقلیدسی, نهتنها اصول و مفاهیم هندسه به كلی تغییر نمودند, بلكه مفهوم هندسه و به طور عامتر, ریاضیات پیش و پس از انقلاب, اساساً تفاوت پیدا كردند. به طوری كه اگر دانشجوی ریاضی زمان حاضر آثار ریاضی پیش از انقلاب نااقلیدسی را مطالعه كند، با افرادی مواجه میشود كه بهجای پرداختن به مدلهای ریاضی و هندسی، در مورد ریاضیات و هندسه به گونهای حرف میزنند كه گویا از ویژگیها دنیای واقعی صحبت میكنند و چه بسا از نظر این دانشجو, این گفتهها بسیار سخیف و بیهوده آید؛ به طوری كه وی برای درك ریاضیات و هندسة پیش از انقلاب نااقلیدسی باید نوع و نگرش خود به ریاضیات و هندسه را تغییر دهد كه در این صورت مشاهده خواهد كرد كه ریاضیات و هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی قیاس ناپذیرند.
6ـ نتیجه
شاید به نظر برسد كه چون ریاضیات، برخلاف علوم طبیعی مثل فیزیك، نجوم و شیمی، با مشاهدات تجربی در تماس نیست؛ هیچگاه با اعوجاج و بحران مواجه نخواهد شد؛ اما همانطور كه دیدیم, اعوجاج در ریاضیات از نوع دیگری است؛ مثلاً تردید دربارة اصل بودن اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسه آشكار شد و با مقاومت در برابر كوششهای ریاضیدانان جهت اثبات آن, جامعة ریاضیدانان را با بحران مواجه نمود.
اما نكته بسیار مهم این است كه این اعوجاج و بحران در پی آن در بنیادیترین سطح هندسه به طرد هندسة اقلیدسی نیانجامید؛ بلكه به مدت بیش از دو هزار سال, تسلط خود را نه تنها بر هندسه, بلكه به علوم دیگر مثل نجوم، فیزیك و حتی فلسفه حفظ نمود. چرا؟ زیرا اگر هندسهدانان، هندسة اقلیدسی را به سبب اعوجاجی كه در اصول بنیانیاش بود، رها میكردند، هیچ نظریة جانشینی نداشتند. در این صورت, تكلیف فعالیت پژوهشی آنها در هندسه چه میشد؟ همین تعلقات حرفهای سبب شد كه هندسة اقلیدسی بیش از دو هزار سال تنها پارادایم حاكم در حوزة ریاضیات باشد. زمانی كه بویوئی، گاوس و لباچفسكی هندسة جدید را مطرح كردند، نظریة رقیبی برای هندسة اقلیدسی ظاهر شده بود كه میتوانست جانشین آن شود. همین، موجبات انقلاب نااقلیدسی را فراهم نمود. اما دیدیم كه تغییر حمایت از پارادایم اقلیدسی به نااقلیدسی از جانب یكایك ریاضیدانان ناشی از برهانهای صرفاً منطقی دربارة سازگاری هندسی نااقلیدسی نبود؛ زیرا جامعة ریاضی قرن نوزدهم به مدت 26 سال از زمانی كه لباچفسكی آن را منتشر كرد تا زمان مرگ گاوس از این برهانها آگاهی داشت, اما هیچگاه آن را جدی نگرفت. آنچه سبب پذیرش هندسة نااقلیدسی شد, عاملی بود ورای استدلالهای ریاضی و آن اینكه شخصی همچون گاوس شهزادة ریاضیدانان, در نامههایش از آن طرفداری كرده بود. در واقع, ریاضیدانان نیز همچون "دانشمندان به دلایل گوناگون طرفدار پارادایم جدید میشوند و معمولاً در آن واحد بنابر وجود چند دلیل چنین میكنند. بعضی ازاین دلایل - مثلاً خورشیدپرستی كه كپلر را یكی از كوپرنیكیان ساخت - كاملاً در خارج قلمرو آشكار علم قرار دارد. بعضی دیگر وابسته به مزاج شخص و زندگینامه و شخصیت اوست - حتی ملیّت یا شهرت سابق شخص نوآور و استادان وی گاه میتواند نقش مؤثر ایفا كند" (kuhn;1970, pp.152,153). شهرت و اعتبار گاوس سبب شد كه تعدادی از بهترین ریاضیدانان كه مرجعیت جامعة ریاضی به عهدهشان بود، از هندسة نااقلیدسی حمایت كنند و این سبب پذیرش این هندسه شد. به قول چالمرز (A.F. Chalmers): "انقلاب علمی عبارت است از طرد یك پارادایم و قبول پارادایمی جدید، نه از سوی یك دانشمند به تنهایی؛ بلكه از سوی جامعة علمی مربوطه در تمامیت آن " (چالمرز، 1374، ص 117).
بنابراین آنچه توسط استقرارگرایان و ابطالگرایان به عنوان منطق اكتشافات علمی گفته میشود، باید بهطور جدی مورد تجدیدنظر قرار گیرد؛ زیرا همانطور كه دیدیم, عملكرد دانشمندان و حتی ریاضیدانان در رسیدن به نظریههای علمی جدید، رفتاری كاملاً بشری است كه ما میتوانیم در حوزههای دیگر زندگیشان ببینیم. همانطور كه هری كالینز (Harry Collins) و ترور پینچ (Trevor Pinch) دو جامعهشناس علم معاصر، میگویند: "آنچه پژوهشهای موضعی ما نشان میدهد, این است كه هیچ منطق اكتشاف علمی وجود ندارد و یا بلكه اگر چنین منطقی وجود دارد، آن منطق، منطق زندگی روزمره است "
نیكلای ایوانوویچ لوباچفسكی نخستین كسی بود كه در سال ۱۸۲۹ مقاله ای در زمینه هندسه نااقلیدسی منتشر ساخت. هنگامی كه اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت، بیشتر به این علت كه به زبان روسی نوشته شده بود و روس هایی كه آن را می خواندند، سخت خرده گیری می كردند. وی در سال ۱۸۴۰ مقاله ای به زبان آلمانی منتشر كرد كه مورد توجه گاوس قرار گرفت. گاوس در نامه ای به ه. ك. شوماخر از آن مقاله ستایش كرد و در عین حال تقدم خود را در این زمینه تكرار كرد. لوباچفسكی هندسه اش را در آغاز «هندسه انگاری» و بعد «هندسه عام» نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هایی كه منتشر كرد به طور كامل بسط داد.
, and the third as 
. 
. The dragon curves of orders 1 to 9 are illustrated above, with corners rounded to emphasize the path taken by the curve. 